Obiettivi formativi
D1. Conoscenze e capacita' di comprensione:
Al termine dell’attività formativa lo studente dovrebbe aver acquisito i principali strumenti matematici necessari per lo studio delle discipline fisiche e chimiche e per le applicazioni in campo biologico; in particolare gli elementi di base del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile reale.
D2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Attraverso le lezioni di teoria e lo svolgimento di numerosi esercizi durante le lezioni e le esercitazioni, lo studente apprende come applicare i metodi matematici per l'analisi e l'elaborazione dell'informazione e dei dati sperimentali relativamente ai sistemi e fenomeni biologici.
D3. Autonomia di giudizio:
Al termine del corso, lo studente sarà in grado di saper valutare la coerenza e correttezza dei risultati ottenuti, anche in vista della valutazione e interpretazione di dati sperimentali.
D5. Capacita' di apprendimento:
Lo studente nell'ambito del corso acquisirà una metodologia di studio che consente la prosecuzione della formazione universitaria.
In particolare, lo studente dovra' essere in grado di comunicare in modo chiaro e preciso contenuti matematici relativi al programma svolto, anche al di fuori di un contesto esclusivamente applicativo. Le lezioni frontali e il confronto diretto con il docente favoriranno l'acquisizione da parte dello studente di un lessico scientifico specifico e appropriato.
Prerequisiti
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Contenuti dell'insegnamento
Il corso intende fornire gli strumenti di base del calcolo matematico, che si ritengono essenziali per la formazione di un biologo. Nella prima parte del corso si ripassano alcune nozioni fondamentali di algebra e di geometria analitica e nel contempo si studiano le funzioni elementari; nella seconda parte del corso si sviluppa l’analisi infinitesimale delle funzioni di una variabile reale, per concludere poi con le nozioni base del calcolo integrale.
Programma esteso
Nozioni Preliminari
Insiemi: relazione di appartenenza. Sottoinsiemi, insieme delle parti, insieme vuoto.
Operazioni con insiemi: unione, intersezione, differenza, differenza simmetrica, complementare. Insiemi dati per elencazione, per proprietà caratteristica.
Diagrammi di Eulero-Venn.
Proposizioni e valori di verità. Connettivi e quantificatori.
Prodotto cartesiano di due o più insiemi.
Insiemi numerici. Polinomi. Equazioni e disequazioni.
Insiemi numerici (N, Z, Q, R, C) e loro proprietà principali.
Operazioni, chiusura rispetto alle operazioni. Proprietà delle operazioni: proprietà commutativa ed associativa di addizione e moltiplicazione, proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. Opposto e reciproco. Elementi neutri.
Valore assoluto. Ordinamento totale degli insiemi N, Z, Q, R. Compatibilità dell'ordine con le operazioni. Proprietà dei numeri reali: la completezza. Estremo superiore, estremo inferiore, massimo e minimo.
Polinomi. Operazioni sui polinomi, potenze. Radici di polinomi di primo e secondo grado. Equazioni e disequazioni polinomiali e col valore assoluto, razionali e irrazionali.
Sistemi di equazioni lineari: metodi elementari di risoluzione.
Geometria della retta e del piano.
Numeri reali e geometria della retta.
Geometria del piano cartesiano. Distanza fra due punti del piano cartesiano.
Rappresentazione analitica di rette, di circonferenze e di coniche (in forma canonica). Condizioni di parallelismo e di perpedicolarità di due rette. Distanza di un punto da una retta.
Funzioni:
Definizioni e proprietà. Dominio, codominio, immagine. Immagine inversa. Grafico di una funzione.
Grafici delle funzioni elementari. Funzione identica, funzioni costanti, funzioni lineari e affini, potenze con esponente fissato y = xa, valore assoluto, segno, parte intera, parte frazionaria. Funzioni polinomiali.
Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Composizione di funzioni. Funzione inversa.
Funzioni monotòne, strettamente monotòne. Funzioni pari, dispari. Inversa di una funzione monotòna. Monotonia delle potenze.
Potenze a esponente razionale.
Funzioni esponenziale e logaritmo e loro grafici. Proprietà delle potenze. Funzione esponenziale: i casi a > 1 ed a compreso tra 0 e 1. La funzione logaritmo come inversa dell'esponenziale. Cambiamenti di base. Equazioni e disequazioni con le funzioni esponenziale e logaritmo.
Misura degli angoli in radianti. Definizione, proprietà e grafici delle funzioni circolari elementari. Formule di addizione, duplicazione, bisezione. Inverse delle funzioni circolari, loro grafici e proprietà. Equazioni e disequazioni goniometriche.
Limiti di funzioni e Funzioni Continue.
Funzioni reali di variabile reale. Dominio e codominio. Limiti agli estremi del dominio.
Funzioni continue in un punto, in un insieme. Definizione di limite. Teoremi dell'unicità del limite e della permanenza del segno. Proprietà delle funzioni continue. Esistenza del limite per funzioni monotòne. Teorema di esistenza degli zeri e teorema di Bolzano–Weierstrass.
Successioni.
Successioni definite per ricorrenza o con assegnato termine generale. Applicazioni in dinamica di popolazione.
Definizione di limite per una successione. Studio di successioni monotòne.
Operazioni con i limiti. Limite di alcune particolari successioni.
Calcolo differenziale e Studi di Funzione.
Rapporto incrementale, derivata in un punto. Interpretazione geometrica della derivata e retta tangente. Relazione fra derivabilità e continuità. Funzione derivata.
Derivata di somma, prodotto, rapporto e composizione di due funzioni. Derivate delle funzioni elementari. Teoremi sulle derivate (Rolle, Lagrange, Cauchy).
Segno della derivata e monotonia.
Studio di funzioni. Problemi di massimo e minimo. Concavità e convessità. Derivata seconda e punti di flesso.
Teorema di de l'Hôpital. Applicazione al calcolo dei limiti.
Calcolo Integrale.
Aree e misura. Il problema inverso della derivazione. Integrale di Cauchy per funzioni di una variabile reale. Condizioni necessarie e sufficienti per l'integrabilità.
Integrabilità delle funzioni monotòne e delle funzioni continue.
Funzione integrale. Proprietà: additività e monotonia. Media di una funzione continua. Teorema della Media.
Insieme delle primitive di una funzione continua. Relazione fra primitive, funzione integrale e aree. Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Metodi di integrazione: sostituzione, parti.
Bibliografia
Come testo di riferimento si consiglia uno dei seguenti due libri (sono equivalenti):
- M. Bramanti, F. Confortola, S. Salsa, Matematica per le Scienze, Zanichelli;
- A. Guerraggio, Matematica per le Scienze, Pearson (con possibilità di accesso a piattaforma elettronica Mymathlab per esercitazioni).
Per il recupero delle nozioni di base indispensabili per affrontare un corso di matematica a livello universitario sono consigliati i testi:
- Roberto D'Ercole, Matematica per i precorsi, Pearson Education.
- Giuseppe De Marco, Analisi Zero, Decibel–Zanichelli.
Metodi didattici
Il corso prevede 6 ore di didattica frontale a settimana più 2 ore di tutoraggio dedicato al recupero delle nozioni di base e a esercizi aggiuntivi. Le lezioni saranno organizzate in presenza con la possibilità di fruire di materiale didattico specifico per ogni lezione e reso disponibile sul portale ELLY alla pagina del corso di Matematica. In particolare, la docente farà lezione scrivendo sul tablet e condividerà i files pdf di quanto scritto; è anche disponibile a registrare le lezioni e a condividere i video.
Gli argomenti verranno presentanti in modo il più possibile formale e rigoroso. Il corso darà particolare enfasi al calcolo, pur non tralasciando l'aspetto teorico. A tale scopo risultano particolarmente importanti i numerosi esercizi svolti a lezione e proposti allo studente, grazie ai quali lo studente impara ad applicare la teoria vista a lezione alla risoluzione di problemi.
Modalità verifica apprendimento
Le conoscenze acquisite e la capacità di comprensione dei concetti trattati verranno verificati attraverso un esame scritto, nel quale lo studente dovrà dimostrare di conoscere gli argomenti svolti e di sapere applicare le conoscenze, risolvendo esercizi a risposta aperta che coprono l'intero programma. In particolare, gli esercizi vertono su limiti, derivate, integrali, domini di funzioni, studio di funzioni, successioni monotone, grafici di funzioni quasi elementari.
Il numero degli esercizi assegnati per la prova scritta è di norma 6, e il punteggio assegnato ad ogni esercizio è di norma variabile tra 4 e 8 punti, in modo tale che la somma dei punteggi eguagli o superi 30. Il tempo assegnato per svolgere la prova scritta è di norma 2 ore e mezza.
Durante il corso verranno effettuate due prove in itinere che, se entrambe sufficienti, forniscono l'esonero dalla prova scritta.
Il superamento dell’esame è subordinato alla verifica delle seguenti competenze: acquisizione di un linguaggio formalmente corretto, capacità di risolvere esercizi.
La prova è superata se lo studente raggiunge un punteggio almeno pari a 18, ottenuto sommando i punteggi ottenuti nei singoli esercizi. Lo studente che abbia superato l'esame puo' richiedere di sostenere anche un esame orale, in caso contrario verrà verbalizzato il voto ottenuto nella prova scritta (o la media dei voti riportati nelle due prove in itinere). La richiesta deve essere formulata al docente del corso prima della scadenza dei termini per l'accettazione del voto su ESSE3. L'orale facoltativo verterà su tutto il programma svolto a lezione e potrà consistere sia di domande teoriche (definizioni, teoremi) che di ulteriori esercizi. Nel caso il candidato opti per sostenere anche la prova orale, il voto finale è dato dalla media aritmetica dei voti dello scritto e dell'orale.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
Istruzione di qualità
