Obiettivi formativi
Il corso si propone di offrire una rielaborazione dei concetti fondamentali della Meccanica Classica attraverso il formalismo Lagrangiano ed Hamiltoniano. Vengono inoltre introdotti i concetti fondamentali della meccanica statistica di equilibrio.
Conoscenza e comprensione (knowledge and understanding):
Gli studenti, alla fine del corso, dovranno aver conseguito le conoscenze e capacità di comprensione dei concetti di base delle formulazioni lagrangiana ed hamiltoniana della meccanica; saper affrontare il problema dello studio dei sistemi macroscopici, ed aver appreso i concetti di base della meccanica statistica.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione (applying knowledge and understanding)
Gli studenti, alla fine del corso, dovranno aver conseguito capacità di:
- saper risolvere problemi tipici di meccanica lagrangiana e hamiltoniana per sistemi di punti materiali, utilizzando coordinate generalizzate;
- determinare equazioni del moto, cariche conservate ed invarianze di sistemi di particelle puntiformi sottoposte a forze e reazioni vincolari;
- individuare le configurazioni di equilibrio e discutere la loro stabilità;
- applicare i metodi della meccanica statistica per calcolare le proprietà termodinamiche all'equilibrio, partendo dalle distribuzioni di probabilità delle variabili microscopiche sullo spazio delle fasi, in semplici sistemi fisici.
Autonomia di giudizio (making judgements)
Gli studenti, alla fine del corso, dovranno dimostrare di saper trovare il formalismo e i i metodi di approssimazione più adatti alla soluzione dei problemi.
Abilità comunicative (communication skills)
Gli studenti, alla fine del corso, dovranno dimostrare di esporre in modo chiaro, sintetico ed efficace gli argomenti trattai durante il corso.
Capacità di apprendere (learning skills)
Gli studenti, alla fine del corso, dovranno dimostrare di essere in grado affrontare la trattazione meccanico-statistica di fenomeni e sistemi che verranno incontrati in corsi successivi.
Prerequisiti
Conoscenza dei contenuti dei corsi di fisica e matematica dei primi tre
semestri (meccanica, termodinamica, calcolo). E' anche importante avere buona familiatità con il calcolo differenziale, integrale, vettoriale e le matrici.
Contenuti dell'insegnamento
Introduzione alla Meccanica Analitica: formulazione lagrangiana e formulazione hamiltoniana
Meccanica Statistica degli Insiemi Microcanonico, Canonico e Gran Canonico.
Applicazioni della meccanica statistica classica.
Programma esteso
- La meccanica classica in un sistema di riferimento arbitrario. Vincoli, spostamenti virtuali, coordinate lagrangiane. La lagrangiana di un sistema fisico e le equazioni di Lagrange. Simmetrie e leggi di conservazione. Il teorema di Noether. Piccole oscillazioni, modi normali. Trasformazioni di Legendre e hamiltoniana. Le equazioni di Hamilton. Spazio degli stati e spazio delle fasi. Le parentesi di Poisson.
- I principi variazionali e le equazioni di Lagrange e di Hamilton. Il calcolo delle variazioni. Le trasformazioni canoniche. Cenni alla teoria delle perturbazioni. Lagrangiane ed Hamiltoniane dei principali sistemi fisici: forze centrali, particelle cariche in campo elettromagnetico. Un esempio di un sistema ad infiniti gradi di libertà: la corda vibrante.
- La descrizione statistica di un sistema macroscopico. Sistemi a molti gradi di libertà e leggi della meccanica newtoniana. Richiami di termodinamica: variabili estensive ed intensive, potenziali termodinamici. Spazio delle fasi e dinamica microscopica hamiltoniana. Il Teorema di Liouville. I problemi dell’approccio microscopico. Le medie temporali e l’ ipotesi ergodica. Come e se si arriva all’equilibrio: l’irreversibilita’.
- Distribuzione microcanonica. Entropia secondo Boltzmann. Additivita' dell'entropia. Entropia per il gas perfetto classico. Il paradosso di Gibbs e il conteggio corretto degli stati.
- Distribuzione canonica. Funzione di partizione e suo legame con l'energia libera di Helmholtz. Fluttuazioni dell'energia nell' insieme canonico. Equivalenza tra insieme microcanonico e canonico. Equipartizione e calori specifici. Distribuzion di Maxwell.
- Distribuzione gran canonica. Funzione di partizione gran canonica e pressione. Potenziale chimico. Gas ideale gran canonico.
Bibliografia
H. Goldstein- C. Poole - J. Safko, Meccanica Classica - Zanichelli
L.D. Laundau - E.M. Lifsits, Meccanica - Ed Riuniti
L.D. Laundau - E.M. Lifsits, Fisica Statistica, Editori Riuniti
K. Huang - Statistical Mechanics
R.K. Pathria - Statistical Mechanics
Appunti delle lezioni
Metodi didattici
il corso consta di 78 ore di cui 42 ore di lezioni frontali (spiegazioni dei contenuti, derivazioni delle leggi e dimostrazioni dei teoremi) e 36 di applicazioni delle leggi ai diversi sistemi fisici. Alla fine di ogni argomento (di norma ogni settimana) saranno assegnati degli esercizi strettamente collegati alle lezioni svolte che verranno corretti e discussi con l'aiuto di un un tutore che verrà assegnato al corso. Il docente è disponibile su appuntamento (via e-mail) per chiarimenti sulle lezioni e suggerimenti sullo svolgimento degli esercizi assegnati.
Le lezioni e le esercitazioni saranno in presenza e vengono fatte alla lavagna.
Una traccia delle lezioni, il testo degli esercizi e le prove d'esame degli anni precedenti verranno caricate sulla piattaforma Elly con cadenza settimanale. La traccia delle lezioni, anche se abbastanza dettagliata, non
sostituisce i libri di testo consigliati.
Modalità verifica apprendimento
Verranno fatte due prove scritte in itinere, la prima sulla meccanica lagrangiana, la seconda sulla meccanica hamiltoniana e sulla meccanica statistica. Le prove sono fatte da 3 esercizi del tipo di quelli proposti durante le lezioni. Durante le prove è possibile consultare i propri appunti. Le prove sono facoltative e se superate contribuiscono ad aumentare la votazione dello scritto finale: in particolare se la prova è superata con voto dal 18 al 22 dà diritto a un bonus di 1 punto, se la prova è superata con voto dal 23 al 27 dà diritto a un bonus di 1.5 punti, mentre se il voto è maggiore di 27 il bonus è di 2 punti.
La verifica dell'apprendimento viene fatta con una prova scritta finale e una prova orale. La prova scritta è fatta di 3 esercizi (uno di meccanica lagrangiana, una di meccanica hamiltoniana e uno di meccanica statistica), articolati in 3 o 4 domande. La durata della prova è di 3 ore ed è sostenibile durante uno degli appelli del calendario ufficiale degli esami. Per essere ammessi all'esame orale è necessario ottenere nella prova scritta un punteggio minimo di 15/30 con un minimo di 4 punti per ciascun esercizio.
Dopo la correzione della prova scritta, allo studente viene comunicato via email il risultato della stessa e viene concordata una data per la prova orale. Questa consiste in una discussione della prova scritta e nella richiesta di illustrare due degli argomenti trattati durante le lezioni, in cui lo studente dovrà dimostrare di aver compreso e di essere in grado di applicare i concetti fondamentali degli argomenti oggetto della prova.
La votazione finale è data dalla media della votazione dello scritto (eventualmente integrata con i bonus ottenuti con lo svolgimento delle prove intermedie) e quella della prova orale.
Altre informazioni
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Obiettivi agenda 2030 per lo sviluppo sostenibile
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